现在，对于代表绕原点逆时针旋转直角的矩阵J，我们自然地认为它应该模仿乘以虚单位i时我们观察到的数的行为。因为点(1，0)被转到了点(0，1)，类似地点(0，1)移动到了(-1，0)，所以这两个新向量组成了矩阵J的行。将J平方可得一个矩阵，它的几何效果是把点绕原点转过2×90°=180°。下面我们就通过乘法来计算这个矩阵。例如，要找出J2右下角的元素，我们取第二行和第二列的点乘，即 (-1)×1＋0×0=-1＋0=-1。完整的计算如下：
矩阵I的行是(1 0)和(0 1)，它是单位矩阵（identity matrix）。这么称呼是因为它就像数1一样，当乘另一个矩阵A时结果还是A。矩阵-I代表了绕原点半周，它的行为类似于-1，同时(-I)2=I。所有这些性质的最终结果是，对于实数a和b，矩阵aI＋bJ在加法和乘法的意义上很好地模仿了复数a＋bi的行为，因此它给出了复数域的一个矩阵表示。对应于典型的复数 a＋bi的矩阵是
