现在,对于代表绕原点逆时针旋转直角的矩阵J,我们自然地认为它应该模仿乘以虚单位i时我们观察到的数的行为。因为点(1,0)被转到了点(0,1),类似地点(0,1)移动到了(-1,0),所以这两个新向量组成了矩阵J的行。将J平方可得一个矩阵,它的几何效果是把点绕原点转过2×90°=180°。下面我们就通过乘法来计算这个矩阵。例如,要找出J2右下角的元素,我们取第二行和第二列的点乘,即 (-1)×1+0×0=-1+0=-1。完整的计算如下:
矩阵I的行是(1 0)和(0 1),它是单位矩阵(identity matrix)。这么称呼是因为它就像数1一样,当乘另一个矩阵A时结果还是A。矩阵-I代表了绕原点半周,它的行为类似于-1,同时(-I)2=I。所有这些性质的最终结果是,对于实数a和b,矩阵aI+bJ在加法和乘法的意义上很好地模仿了复数a+bi的行为,因此它给出了复数域的一个矩阵表示。对应于典型的复数 a+bi的矩阵是